Volume 1 Tahun 2016 - ISSN 2528-259X

aljabar max-plus. Disamping itu diberikan contoh penerapannya hingga didapatkan waktu mulai yang baik agar sistem produksi berlangsung secara periodik.

METODE PENELITIAN Metode penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah kajian pustaka yaitu dengan mengumpulkan referensi berupa buku, skripsi, jurnal, maupun artikel mengenai aljabar max-plus dan penerapannya pada sistem produksi. Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini yaitu: 1. memahami aljabar max-plus; 2. menentukan asumsi-asumsi yang digunakan pada sistem produksi tipe assembly; 3. memahami aljabar max-plus pada sistem produksi tipe assembly; 4. memahami bentuk persamaan sistem produksi tipe assembly dengan menggunakan operasi aljabar max-plus; 5. menentukan aplikasi aljabar max-plus pada contoh sistem produksi tipe assembly; dan 6. menentukan waktu mulai yang baik agar sistem produksi tipe assembly berlangsung secara periodik.

HASIL DAN PEMBAHASAN Pada bagian ini dibahas mengenai bentuk persamaan aljabar max-plus tipe assembly dan contoh penerapannya pada sistem produksi. 1. Bentuk Persamaan Umum Sistem Produksi Tipe Assembly Pada bagian ini dibahas sistem produksi tipe assembly yang dikutip dari Schutter (1996). Pada sistem produksi tersebut terdapat 𝑛 + 1 unit pemroses. Unit pemroses (𝑃𝑛 ) merupakan unit pemroses yang menampung beberapa output dari unit pemroses ke-1 sampai dengan unit pemroses ke-(𝑛 − 1) (𝑃1 , 𝑃2 , … , 𝑃 𝑛−1 ). Gambar 1. Sistem produksi tipe assembly

Dari Gambar 1 untuk semua 𝑘 ∈ ℕ0 dapat didefinisikan: 1. 𝑢 𝑖 𝑘 + 1 merupakan waktu ketika bahan baku ke-𝑖 dimasukkan ke sistem untuk proses yang ke𝑘 + 1 , dengan 𝑖 = 1,2, … , 𝑛; 2. 𝑥 𝑗 𝑘 merupakan waktu ketika pemroses ke-𝑗 memulai proses yang ke-𝑘 dengan 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 + 1 ; dan 3. 𝑦 𝑘 merupakan waktu ketika bahan-bahan selesai diproses dan produk meninggalkan sistem saat yang ke-𝑘. Dalam kasus ini diasumsikan bahwa semua pemroses memiliki unit penampung (buffer) yang tidak terbatas. Sehingga tidak akan pernah terjadi penumpukan dan overflow pada sistem. Prosiding Seminar Nasional Pendidikan Matematika 2016 ~ Universitas Kanjuruhan Malang | 307

Volume 1 Tahun 2016 - ISSN 2528-259X Selanjutnya akan ditentukan waktu untuk memulai proses pada 𝑃1 . 𝑃1 dapat memulai proses

yang ke-(𝑘 + 1) jika input yang ke𝑘 + 1 untuk 𝑃1 yaitu 𝑢1 𝑘 + 1 telah tersedia dan 𝑃1 telah menyelesaikan proses yang sebelumnya, yaitu proses yang ke-𝑘. Waktu yang dibutuhkan untuk melakukan proses di 𝑃1 adalah 𝑑1 satuan waktu. Sehingga bahan setengah jadi yang diproses di 𝑃1 akan meninggalkan 𝑃1 pada saat 𝑥1 𝑘 + 𝑑1 . Sehingga bisa diperoleh waktu ketika 𝑃1 memulai proses yang ke𝑘 + 1 sebagai berikut: 𝑥1 𝑘 + 1 = max 𝑢1 𝑘 + 1 , 𝑥1 𝑘 + 𝑑1 (1) 𝑃2 dapat memulai proses yang ke-(𝑘 + 1) jika input yang ke𝑘 + 1 untuk 𝑃2 yaitu 𝑢2 𝑘 +

1 telah tersedia dan 𝑃2 telah menyelesaikan proses yang sebelumnya, yaitu proses yang ke-𝑘. Waktu yang dibutuhkan untuk melakukan proses di 𝑃2 adalah 𝑑2 satuan waktu. Sehingga bahan setengah jadi yang diproses di 𝑃2 akan meninggalkan 𝑃2 pada saat 𝑥2 𝑘 + 𝑑2 . Sehingga bisa diperoleh waktu ketika 𝑃2 memulai proses yang ke𝑘 + 1 sebagai berikut: 𝑥2 𝑘 + 1 = max 𝑢2 𝑘 + 1 , 𝑥2 𝑘 + 𝑑1 (2) Demikian juga untuk 𝑃𝑛 . 𝑃𝑛 dapat memulai proses yang ke-(𝑘 + 1) jika input yang ke-

𝑘 + 1 untuk 𝑃𝑛 yaitu 𝑢 𝑛 𝑘 + 1 telah tersedia dan 𝑃𝑛 telah menyelesaikan proses yang sebelumnya, yaitu proses yang ke-𝑘. Waktu yang dibutuhkan untuk melakukan proses di 𝑃𝑛 adalah 𝑑 𝑛 satuan waktu. Sehingga bahan setengah jadi yang diproses di 𝑃𝑛 akan meninggalkan 𝑃𝑛 pada saat 𝑥 𝑛 𝑘 + 𝑑 𝑛 . Sehingga bisa diperoleh waktu ketika 𝑃𝑛 memulai proses yang ke𝑘 + 1 sebagai berikut: 𝑥 𝑛 𝑘 + 1 = max 𝑢 𝑛 𝑘 + 1 , 𝑥 𝑛 𝑘 + 𝑑1 (3) Sedangkan untuk 𝑃 𝑛+1 . 𝑃 𝑛+1 dapat memulai proses yang ke𝑘 + 1 jika output yang ke-

𝑘 + 1 dari 𝑃1 , 𝑃2 , sampai dengan 𝑃𝑛 telah sampai di 𝑃 𝑛+1 . Dengan kata lain input yang ke𝑘 + 1 untuk 𝑃 𝑛+1 telah tersedia. Karena waktu yan dibutuhkan untuk menyelesaikan proses pada 𝑃1 , 𝑃2 , sampai dengan 𝑃𝑛 berturut-urut adalah 𝑑1 , 𝑑2 , dan 𝑑 𝑛 . Sedangkan waktu yang dibutuhkan untuk transportasi atau perjalanan antar pemroses diasumsikan sama dengan nol. Sehingga produk setengah jadi atau output dari 𝑃1 akan sampai di 𝑃 𝑛+1 pada waktu 𝑥1 𝑘 + 1 + 𝑑1 , produk setengah jadi atau output dari 𝑃2 akan sampai di 𝑃 𝑛+1 pada waktu 𝑥2 𝑘 + 1 + 𝑑2 , dan produk setengah jadi atau output dari 𝑃𝑛 akan sampai di 𝑃 𝑛+1 pada waktu 𝑥 𝑛 𝑘 + 1 + 𝑑 𝑛 . Akan tetapi 𝑃 𝑛+1 hanya bisa mulai mulai bekerja jika telah menyelesaikan proses yang sebelumnya yaitu proses yang ke-𝑘. Karena waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan proses di 𝑃 𝑛+1 adalah 𝑑 𝑛+1 satuan waktu, produk di 𝑃 𝑛+1 akan meninggalkan 𝑃 𝑛+1 pada saat 𝑥 𝑛 +1 𝑘 + 𝑑 𝑛+1 . Sehingga bisa diperoleh waktu ketika 𝑃 𝑛+1 memulai proses yang ke𝑘 + 1 sebagai berikut:

𝑥 𝑛 +1 𝑘 + 1 = max 𝑥1 𝑘 + 1 + 𝑑1 , 𝑥2 𝑘 + 1 + 𝑑2 , … , 𝑥 𝑛 𝑘 + 1 + 𝑑 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 𝑘 (4) + 𝑑 𝑛+1

Selain itu juga dapat diperoleh waktu ketika produk yang sudah jadi meninggalkan sistem saat yang ke-𝑘 yaitu sebagai berikut 𝑦 𝑘 = 𝑥 𝑛 +1 𝑘 + 𝑑 𝑛+1 (5)

308 | Prosiding Seminar Nasional Pendidikan Matematika 2016 ~ Universitas Kanjuruhan Malang Volume 1 Tahun 2016 - ISSN 2528-259X Dengan menggunakan notasi aljabar max-plus pada persamaan (1), (2), (3), (4), dan (5) dapat

ditulis sebagai berikut 𝑥1 𝑘 + 1 = 𝑥1 𝑘 ⊗ 𝑑1 ⊕ 𝑢1 𝑘 + 1 𝑥2 𝑘 + 1 = 𝑥2 𝑘 ⊗ 𝑑2 ⊕ 𝑢2 𝑘 + 1 ⋮ 𝑥𝑛 𝑘+1 = 𝑥𝑛 𝑘 ⊗ 𝑑𝑛 ⊕ 𝑢𝑛 𝑘+1 𝑥 𝑛+1 𝑘 + 1 = 𝑥1 𝑘 + 1 ⊗ 𝑑1 ⊕ 𝑥2 𝑘 + 1 ⊗ 𝑑2 ⊕ … ⊕ 𝑥 𝑛 𝑘 + 1 ⊗ 𝑑 𝑛 ⊕ 𝑥 𝑛+1 𝑘 ⊗ 𝑑 𝑛+1 ⊗ 2 ⊗ 2 = 𝑥1 𝑘 ⊗ 𝑑1 ⊕ 𝑢1 𝑘 + 1 ⊕ 𝑥2 𝑘 ⊗ 𝑑2 ⊕ 𝑢2 𝑘 + 1 2 ⊕ … ⊕ 𝑥 𝑛 𝑘 ⊗ 𝑑⊗ ⊕ 𝑢 𝑛 𝑘 + 1 ⊕ 𝑥 𝑛+1 𝑘 ⊗ 𝑑 𝑛+1 𝑛 𝑦 𝑘 = 𝑥 𝑛+1 𝑘 + 𝑑 𝑛+1 Jika persamaan-persamaan di atas ditulis dalam bentuk matrik aljabar max-plus, maka

diperoleh sistem persamaan sebagai berikut 𝑥 𝑘+1 = 𝐴⊗ 𝑥 𝑘 ⊕ 𝐵⊗ 𝑢 𝑘+1 (5) 𝑦 𝑘 = 𝐶⊗ 𝑥 𝑘

dengan 𝐴, 𝐵 ∈ ℝ 𝜀𝑛+1×𝑛+1 dan 𝐶 ∈ ℝ1×𝑛+1 sebagai berikut 𝜀

 d1      0      d2             A      , B    0   , dan C      d n1       2   dn      0 d1  d2 2  dn 2 d n1   0   0 0   x1 (k )   x (k )   u1 (k  1)   2  u (k  1)  sedangkan x(k )     dan u (k  1)   2 .       xn ( k )     xn1 (k ) un (k  1)   Sistem persamaan (5) merupakan bentuk persamaan umum untuk sistem produksi tipe assembly.

2. Contoh Aplikasi Aljabar Max-Plus Pada Sistem Produksi Tipe Assembly Berikut ini diberikan contoh sistem produksi tipe assembly. Dari gambar 6 ini dapat diperoleh persamaan aljabar max-plus dari sistem produksi tersebut yang dapat digunakan untuk mendapatkan waktu memulai proses pada masing-masing pemroses. Prosiding Seminar Nasional Pendidikan Matematika 2016 ~ Universitas Kanjuruhan Malang | 309

Volume 1 Tahun 2016 - ISSN 2528-259X Gambar 2. Contoh sistem produksi tipe assembly

Pada Gambar 2 terlihat bahwa waktu yang dibutuhkan untuk melakukan proses pada setiap pemroses yaitu 𝑑1 = 5, 𝑑2 = 4, 𝑑3 = 3, dan 𝑑4 = 8 satuan waktu. Sehingga berdasarkan persamaan (5) diperoleh persamaan berikut. 𝑥 𝑘+1 = 𝐴⊗ 𝑥 𝑘 ⊕ 𝐵⊗ 𝑢 𝑘+1 (5) 𝑦 𝑘 = 𝐶⊗ 𝑥 𝑘

dengan 5    0     x1   x   u1  4      , B   0   , C     8, x   2  , dan u  u 2  . A     3    0   x3        u 3    10 8 6 8 0 0 0   x4 

Dengan menggunakan program Scilab 5.5.1 maka diperoleh waktu untuk memulai proses pada setiap pemroses untuk periode proses yang ke-𝑘 sebagai berikut. 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

x 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 0 10 18 26 34 42 50 58 66 74 82 x(0) x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7) x(8) x(9) x(10)

y  8 18 26 34 42 50 58 66 74 82 90 Pada hasil 𝑥 di atas terlihat bahwa mulai 𝑥(1) waktu mulai proses pada masing-masing pemroses

sudah mempunyai periode yang tetap. Untuk pemroses ke-1 (𝑃1 ) mempunyai periode 5 satuan waktu, pemroses ke-2 (𝑃2 ) mempunyai periode 4 satuan waktu, pemroses ke-3 (𝑃3 ) mempunyai periode 3 satuan waktu, dan pemroses ke-4 (𝑃4 ) mempunyai periode 8 satuan waktu. Sehingga salah satu yang baik untuk mengawali sistem produksi yaitu x(0)  5 4 3 10 . Untuk 𝑥 0 tersebut berarti T

bahwa waktu memulai proses untuk pemroses 𝑃1 adalah pada satuan waktu ke-5, 𝑃2 pada satuan waktu ke-4, 𝑃3 pada satuan waktu ke-3, dan 𝑃4 pada satuan waktu ke-10. Untuk berikutnya yaitu untuk 𝑘 = 1, 2, 3, … setiap pemroses bekerja secara periodik sesuai dengan periodenya masing masing. Sedangkan 𝑦 𝑘 menyatakan waktu selesainya proses untuk periode ke-𝑘 atau saat ketika produk yang sudah jadi meniggalkan sistem saat yang ke-𝑘.

310 | Prosiding Seminar Nasional Pendidikan Matematika 2016 ~ Universitas Kanjuruhan Malang Volume 1 Tahun 2016 - ISSN 2528-259X

PENUTUP 1. Kesimpulan Dari pembahasan dan hasil yang diperoleh maka dapat diambil kesimpulan bahwa sistem persamaan (5) merupakan bentuk persamaan aljabar max-plus secara umum dari suatu sistem produksi tipe assembly. Selanjutnya sistem persamaan tersebut dapat digunakan untuk menentukan waktu memulai proses pada suatu pemroses sistem produksi. Berdasarkan hasil yang diperoleh untuk periode proses selanjutnya akan berlangsung secara periodik.

2. Saran Pada penelitian ini keperiodikan sistem dilihat dari hasil simulasi. Untuk itu diharapkan untuk penelitian berikutnya agar menyempurnakan penelitian ini dengan melakukan analisis yang lebih mendalam tentang keperiodikan dan karakteristik dari sistem 𝑥 𝑘 + 1 = 𝐴 ⊗ 𝑥 𝑘 ⊕ 𝐵 ⊗ 𝑢 𝑘 + 1 yang berkaitan dengan sistem produksi tipe assembly. Selain itu bisa dikembangkan juga dengan menambahkan finite buffer pada beberapa pemroses.

DAFTAR RUJUKAN

Schutter, B. D. 1996. Max-Algebraic System Theory for Discrete Event Systems. Katholieke Universiteit Leuven. Subiono. 2015. Aljabar Min-Max Plus dan Terapannya. Bahan Kuliah: Aljabar Min-Max Plus. Institut Teknologi Sepuluh Nopember. Surabaya. Heidergott, B.. Olsder, G.J.. Woude, Jacob van der. 2006. Max Plus at Work: Modeling and Analysis of Synchronized Systems: A Course on Max-Plus Algebra and Its Application. New Jersey: Princeton University Press. Prosiding Seminar Nasional Pendidikan Matematika 2016 ~ Universitas Kanjuruhan Malang | 311